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Revista Cuanta

May 12, 2023

16 de mayo de 2023

Harol Bustos para la revista Quanta

escritor sénior

16 de mayo de 2023

En 2009, un par de astrónomos del Observatorio de París anunciaron un descubrimiento sorprendente. Después de construir un modelo computacional detallado de nuestro sistema solar, realizaron miles de simulaciones numéricas, proyectando los movimientos de los planetas miles de millones de años en el futuro. En la mayoría de esas simulaciones, que variaron el punto de partida de Mercurio en un rango de poco menos de 1 metro, todo se desarrolló como se esperaba. Los planetas continuaron girando alrededor del sol, trazando órbitas en forma de elipse que se veían más o menos como lo han hecho a lo largo de la historia humana.

Pero alrededor del 1% de las veces, las cosas salieron mal, literalmente. La forma de la órbita de Mercurio cambió significativamente. Su trayectoria elíptica se aplanó gradualmente, hasta que el planeta cayó en picado hacia el sol o chocó con Venus. A veces, mientras abría su nuevo camino a través del espacio, su comportamiento también desestabilizó a otros planetas: Marte, por ejemplo, podría ser expulsado del sistema solar o podría chocar contra la Tierra. Venus y la Tierra podrían, en una danza cósmica lenta, intercambiar órbitas varias veces antes de colisionar.

Quizás el sistema solar no era tan estable como la gente pensaba alguna vez.

Durante siglos, desde que Isaac Newton formuló sus leyes del movimiento y la gravedad, matemáticos y astrónomos se han enfrentado a este problema. En el modelo más simple del sistema solar, que considera solo las fuerzas gravitatorias ejercidas por el sol, los planetas siguen sus órbitas elípticas como un mecanismo de relojería por la eternidad. "Es una especie de imagen reconfortante", dijo Richard Moeckel, matemático de la Universidad de Minnesota. "Va a continuar para siempre, y nos iremos hace mucho tiempo, pero Júpiter seguirá dando vueltas".

Pero una vez que tomas en cuenta la atracción gravitatoria entre los propios planetas, todo se vuelve más complicado. Ya no puede calcular explícitamente las posiciones y velocidades de los planetas durante largos períodos de tiempo y, en cambio, debe hacer preguntas cualitativas sobre cómo podrían comportarse. ¿Podrían los efectos de la atracción mutua de los planetas acumularse y romper el reloj?

Simulaciones numéricas detalladas, como las publicadas por Jacques Laskar y Mickaël Gastineau del Observatorio de París en 2009, sugieren que existe una posibilidad pequeña pero real de que las cosas se vuelvan locas. Pero esas simulaciones, aunque importantes, no son lo mismo que una prueba matemática. No pueden ser completamente precisos y, como muestran las propias simulaciones, una pequeña imprecisión podría, en el transcurso de miles de millones de años simulados, conducir a resultados muy diferentes. Además, no proporcionan una explicación subyacente de por qué ciertos eventos podrían desarrollarse. "Quieres entender qué mecanismos matemáticos impulsan las inestabilidades y demostrar que realmente existen", dijo Marcel Guàrdia, matemático de la Universidad de Barcelona.

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Los matemáticos Marcel Guàrdia (izquierda) y Jacques Fejoz llevan años colaborando en la búsqueda de una prueba de que puede surgir inestabilidad en un sistema solar modelo.

Jessica Massetti

Ahora, en tres artículos que juntos superan las 150 páginas, Guàrdia y dos colaboradores han demostrado por primera vez que la inestabilidad surge inevitablemente en un modelo de planetas que orbitan alrededor de un sol.

"El resultado es realmente muy espectacular", dijo Gabriella Pinzari, física matemática de la Universidad de Padua en Italia. "Los autores demostraron un teorema que es uno de los teoremas más hermosos que uno podría probar". También podría ayudar a explicar por qué nuestro sistema solar tiene el aspecto que tiene.

Hace siglos, ya estaba claro que las interacciones entre los planetas podrían tener efectos a largo plazo. Considere a Mercurio. Se tarda aproximadamente tres meses en viajar alrededor del sol en una trayectoria elíptica. Pero ese camino también gira lentamente: un grado cada 600 años, una rotación completa cada 200.000. Este tipo de rotación, conocida como precesión, es en gran parte el resultado de que Venus, la Tierra y Júpiter atraen a Mercurio.

Pero la investigación realizada en el siglo XVIII por gigantes matemáticos como Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange indicó que, dejando de lado la precesión, el tamaño y la forma de la elipse son estables. No fue hasta finales del siglo XIX que esta intuición comenzó a cambiar, cuando Henri Poincaré descubrió que incluso en un modelo con solo tres cuerpos (digamos, una estrella orbitada por dos planetas), es imposible calcular soluciones exactas para las ecuaciones de Newton. "La mecánica celeste es algo delicado", dijo Rafael de la Llave, matemático del Instituto de Tecnología de Georgia. Altere las condiciones iniciales por un pelo, por ejemplo, cambiando la posición supuesta de un planeta por un mero metro, como hicieron Laskar y Gastineau en sus simulaciones, y en escalas de tiempo largas, el sistema puede verse muy diferente.

En el problema de los tres cuerpos, Poincaré encontró una maraña de posibles comportamientos tan complicada que al principio pensó que se había equivocado. Una vez que aceptó la verdad de sus resultados, ya no fue posible dar por sentada la estabilidad del sistema solar. Pero debido a que trabajar con las ecuaciones de Newton es tan difícil, no estaba claro si el comportamiento del sistema solar podría ser complicado y caótico solo a pequeña escala (los planetas podrían terminar en diferentes posiciones dentro de una banda predecible, por ejemplo) o si , como Guàrdia y sus colaboradores demostrarían finalmente en su propio modelo, el tamaño y la forma de las órbitas podrían cambiar tanto que los planetas posiblemente podrían chocar entre sí o viajar al infinito.

Luego, en 1964, el matemático Vladimir Arnold escribió un artículo de cuatro páginas que estableció el lenguaje correcto para enmarcar el problema. Encontró una razón específica por la cual las variables clave en un sistema dinámico pueden cambiar en gran medida. Primero, inventó un ejemplo artificial, una extraña mezcla de un péndulo y un rotor que no se parecía ni remotamente a nada que encontrarías en la naturaleza. En este modelo de juguete, demostró que, con el tiempo suficiente, ciertas cantidades que suelen permanecer constantes pueden cambiar en grandes cantidades.

Arnold luego conjeturó que la mayoría de los sistemas dinámicos deberían exhibir este tipo de inestabilidad. En el caso del sistema solar, esto podría significar que las formas orbitales, o excentricidades, de ciertos planetas podrían cambiar potencialmente durante miles de millones de años.

Pero si bien los matemáticos y los físicos finalmente lograron un gran progreso en demostrar que la inestabilidad surge en general, lucharon para demostrarlo en los modelos celestes. Esto se debe a que el efecto gravitacional del sol es tan abrumadoramente fuerte que muchas características del modelo planetario mecánico persisten incluso cuando se consideran las fuerzas adicionales ejercidas por los planetas. (En este contexto, la mecánica newtoniana brinda una aproximación tan buena de la realidad que estos modelos no necesitan considerar los efectos de la relatividad general). Tal estabilidad inherente hace que la inestabilidad sea difícil de detectar.

¿Podrían los parámetros que permanecieron tan estables en los cálculos realizados por Laplace, Lagrange y otros realmente cambiar significativamente? "Tienes que manejar una inestabilidad que es extremadamente débil", dijo Laurent Niederman de la Universidad Paris-Saclay. Los métodos habituales no lo atraparán.

Las simulaciones numéricas ofrecieron la esperanza de que la búsqueda de tal prueba no fuera en vano. Y hubo pruebas preliminares. En 2016, por ejemplo, de la Llave y dos colegas demostraron la inestabilidad en un modelo de mecánica celeste simplificado que constaba de un sol, un planeta y un cometa, donde se suponía que el cometa no tenía masa y, por lo tanto, no tenía efecto gravitatorio sobre el planeta. Esta configuración se conoce como un problema de n cuerpos "restringido".

Los nuevos artículos abordan un verdadero problema de n cuerpos, mostrando que la inestabilidad surge en un sistema planetario donde tres cuerpos pequeños giran alrededor de un sol mucho más grande. Aunque el tamaño y la forma de las órbitas pueden pasar mucho tiempo oscilando alrededor de valores fijos, eventualmente cambiarán drásticamente.

Esto era de esperar —se creía ampliamente que la estabilidad y la inestabilidad coexisten en este tipo de modelo—, pero los matemáticos fueron los primeros en demostrarlo.

Junto con Jacques Fejoz de la Universidad de Paris Dauphine, Guàrdia intentó por primera vez probar la inestabilidad en el problema de los tres cuerpos (un sol, dos planetas) en 2016. Aunque pudieron demostrar que la dinámica caótica surgió en el sabor de Poincaré, no pudo probar que este comportamiento caótico correspondiera a cambios grandes y de largo plazo.

Andrew Clarke, un postdoctorado que estudia con Guàrdia, se unió a ellos en septiembre de 2020 y decidieron darle otra oportunidad al problema, esta vez agregando un planeta adicional a la mezcla. En su modelo, tres planetas giran alrededor de un sol a distancias cada vez mayores entre sí. Crucialmente, el planeta más interno comienza a orbitar con una inclinación significativa en relación con el segundo y el tercer planeta, de modo que su camino prácticamente forma un ángulo recto con el de ellos.

Esta inclinación permitió a los matemáticos encontrar condiciones iniciales que resultan en inestabilidad.

Mostraron la existencia de trayectorias que condujeron a prácticamente cualquier excentricidad posible para el segundo planeta: con el tiempo, era posible que su elipse se aplanara hasta que casi pareciera una línea recta. Mientras tanto, las órbitas del segundo y tercer planeta, que habían comenzado en el mismo plano, también podrían terminar perpendiculares entre sí. El segundo planeta podría incluso girar 180 grados completos, de modo que mientras todos los planetas podrían haberse movido al principio en el sentido de las agujas del reloj alrededor del sol, el segundo terminó moviéndose en el sentido contrario a las agujas del reloj. "Imagínate que miras hacia adelante un millón de años y Marte va en sentido contrario", dijo Richard Montgomery de la Universidad de California en Santa Cruz. "Eso sería raro."

"No se pueden evitar órbitas muy salvajes, incluso en este entorno simple", dijo Niederman.

Aun así, los tamaños de las órbitas se mantuvieron estables. Esto se debe a que, en este modelo, los planetas se mueven alrededor del sol muy rápidamente en comparación con el tiempo que tardan en precesar sus órbitas, lo que permite a los matemáticos pasar por alto las variables "rápidas" relacionadas con los movimientos de los planetas. “Es tedioso pensar en lo que sucede cada año si lo que realmente te interesa es lo que sucede durante mil años”, dijo Moeckel. Las oscilaciones en el tamaño de cada elipse (medidas en términos de su radio largo o semieje mayor) se promedian.

Esto no fue sorprendente. “El conocimiento común dice que la inclinación y la excentricidad deberían ser más inestables que el semieje mayor”, dijo Guàrdia. Pero luego él y sus colegas se dieron cuenta de que si colocaban el tercer planeta aún más lejos del sol, podrían agregar más inestabilidad a su modelo.

Este nuevo sistema y las ecuaciones que lo regían eran más complicados, y los matemáticos no estaban seguros de poder obtener ningún resultado. Pero "era demasiado para ignorarlo", dijo Clarke. "Si hubiera una posibilidad de mostrar que los semiejes principales podrían desviarse, entonces quiero decir, tienes que seguir con eso".

Laskar, quien dirigió gran parte del trabajo numérico sobre la inestabilidad en el sistema solar, dijo que si superpusieras este tipo de sistema solar al nuestro, podrías ver el primer planeta anidado justo contra el sol, el segundo planeta donde la Tierra estaría be, y el tercer planeta hasta el final en la Nube de Oort, en los límites exteriores de nuestro sistema solar. (Como resultado, agregó, esto representa una "situación muy extrema", una que no necesariamente espera encontrar en nuestra propia galaxia).

Cuanto mayor es la distancia de un planeta al sol, más tiempo tarda en completar una órbita. En este caso, el tercer planeta está tan lejos que la precesión de los dos planetas interiores ocurre a un ritmo más rápido. Ya no es posible promediar el movimiento del último planeta, un escenario que Lagrange y Laplace no consideraron en sus informes sobre la estabilidad del sistema solar. "Esto cambiará por completo la estructura de la ecuación", dijo Alain Chenciner, matemático también del Observatorio de París. Ahora había más variables de las que preocuparse.

Clarke, Fejoz y Guàrdia demostraron que las órbitas pueden crecer arbitrariamente. "Finalmente logran que aumente el tamaño de la órbita, en lugar de solo la forma o algo así", dijo Moeckel. "Esa es la máxima inestabilidad".

Aunque estos cambios se acumularon muy lentamente, ocurrieron más rápido de lo que cabría esperar, lo que sugiere que en un sistema planetario realista, los cambios podrían acumularse durante cientos de millones de años, en lugar de miles de millones.

En 2009, la física matemática Gabriella Pinzari redescubrió de forma independiente un complicado sistema de coordenadas que había sido olvidado durante décadas, lo que hizo posible un nuevo trabajo sobre la inestabilidad planetaria.

Departamento de Matemáticas de la Universidad de Padua

Los resultados proporcionan una posible explicación de por qué los planetas de nuestro sistema solar tienen órbitas que se encuentran casi en el mismo plano. Muestra que algo tan simple como un gran ángulo de inclinación puede ser una fuente de gran inestabilidad, en múltiples aspectos. "Si comienzas con una situación en la que las inclinaciones mutuas son bastante grandes, entonces destruirás el sistema bastante 'rápidamente'", dijo Chenciner. "Habría sido destruido hace cientos, miles de siglos".

Estas demostraciones requerían una inteligente combinación de técnicas de geometría, análisis y dinámica, y un retorno a las definiciones básicas.

Los matemáticos representaron cada configuración de su sistema planetario (las posiciones y velocidades de los planetas) como un punto en un espacio de alta dimensión. Su objetivo era mostrar la existencia de "carreteras" a través del espacio que corresponden, digamos, a grandes cambios en la excentricidad del segundo planeta, o en el semieje mayor del tercer planeta.

Para hacer eso, primero tenían que expresar cada punto en términos de coordenadas que eran tan esotéricas y complejas que casi nadie había oído hablar de ellas, y mucho menos había intentado usarlas. (Las coordenadas fueron descubiertas a principios de la década de 1980 por el astrónomo belga André Deprit, luego olvidadas y luego descubiertas de forma independiente por Pinzari en 2009 mientras trabajaba en su tesis doctoral. Apenas se han utilizado desde entonces).

Al usar las coordenadas de Deprit para describir su espacio de alta dimensión de configuraciones planetarias, los matemáticos obtuvieron una comprensión más profunda de su estructura. “Eso es parte de la belleza de la prueba: manejar esta geometría de 18 dimensiones”, dijo Fejoz.

Fejoz, Clarke y Guàrdia encontraron carreteras que atravesaban varias regiones especiales de ese espacio. Luego usaron su nueva comprensión geométrica para demostrar que las carreteras correspondían a dinámicas inestables en el tamaño y la forma de las órbitas de los planetas.

"Cuando terminé mi doctorado hace 30 años", dijo Niederman, "estábamos muy, muy lejos de este tipo de resultados".

“Es un sistema tan complicado que tienes la sensación de que cualquier cosa que no esté obviamente prohibida debería suceder”, dijo Chenciner. "Pero por lo general es muy difícil demostrarlo".

Los matemáticos ahora esperan usar las técnicas de Clarke, Fejoz y Guàrdia para probar la inestabilidad en modelos que se parecen más a nuestro propio sistema solar. Este tipo de resultados se están volviendo particularmente significativos a medida que los astrónomos descubren más y más exoplanetas que orbitan alrededor de otras estrellas, mostrando una amplia gama de configuraciones. "Es como un laboratorio abierto", dijo Marian Gidea, matemática de la Universidad Yeshiva. "Comprender en papel qué tipos de evoluciones de los sistemas planetarios pueden ocurrir y comparar eso con lo que puedes observar, es muy emocionante. Brinda mucha información sobre la física de nuestro universo y sobre cuánto de esto nuestras matemáticas son capaces de capturar a través de modelos relativamente simples".

Con la esperanza de hacer tal comparación, Fejoz ha estado hablando con un par de astrónomos sobre la identificación de sistemas extrasolares que se parezcan, aunque sea vagamente, al modelo que él y sus colegas desarrollaron. Otros investigadores, incluido Gidea, dicen que el trabajo podría ser útil para diseñar trayectorias eficientes para satélites artificiales o para descubrir cómo mover partículas a altas velocidades a través de un acelerador de partículas. Como dijo Pinzari, "La investigación en mecánica celeste todavía está muy viva".

El objetivo final sería probar la inestabilidad en nuestro propio sistema solar. "Me despierto en medio de la noche pensando en eso", dijo Clarke. "Diría que ese sería el verdadero sueño, pero sería una pesadilla, ¿no? Porque estaríamos jodidos".

Corrección: 16 de mayo de 2023Este artículo fue revisado para reflejar que Marcel Guàrdia es profesor en la Universidad de Barcelona. Se mudó de la Universidad Politécnica de Cataluña en el verano de 2022.

escritor sénior

16 de mayo de 2023

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